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微分与差分

微分​

微分方程就是一个含有函数导数的方程，形如:y=f(x,y′,y′′,...)y=f(x, y', y'',...),如果我们能从这个求解出原来的函数即y=f(x)y=f(x)

对于使用微分方程求解的问题，一般有三种方法：规律建模、微元法、模拟近似法

规律建模​

这种方法是基于目前已有的理论进行建模，通过已有的理论知识构建解决问题的模型。课本上讲到的有：

  • 牛顿冷却定律:物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成正比，即dTdt=k(T−T0)(k>0)\frac{dT}{dt}=k(T-T_0)(k>0);若是降温模型，则需要添加负号，即dTdt=−k(T−T0)(k>0)\frac{dT}{dt}=-k(T-T_0)(k>0)

微元法建模​

这种方法是将一个大问题分解成内部小问题，比如求解一段时间内的速度，那么就可以将时间分成一段一段，每一段长度为dt,当分得足够小的时候可以近似看作匀速运动，所以可以直接代入现有的公式算。

模拟近似​

根据问题构造公式，根据问题所描述的进行构造，求解出一个规律，符合原问题要求的规律

求解​

使用matlab能够求解出解析解和数值解，求解方法见书P127,P128

差分​

差分方程实际上就是递归，要求出当前的值，需要求出上一个值，上一个值有需要再求，直到求解得已知的元素。也就是对于一个数列a_n，把数列a_n和前面的a_i关联起来的方程就是差分方程。

对于实际问题来说，an=an−1+f(n),an=an−1+an−2+f(n)a_n=a_{n-1}+f(n),a_n=a_{n-1}+a_{n-2}+f(n)是常用的形式

求解​

  • 常系数线性齐次差分方程

    对于一个差分方程:bn+a1bn−1+a2bn−2+...+akbn−k=0b_n+a_1b_{n-1}+a_2b_{n-2}+...+a_kb_{n-k}=0.

    1. 写出特征方程:xk+a1xk−1+...+akx0x^k+a_1x^{k-1}+...+a_kx^{0},求解特征根.
    2. 若特征根均为单根，即有k个相异的特征根x1,x2,...,xkx_1,x_2,...,x_k则通解为bn=c1x1n+c2x2n+...+ckxknb_n=c_1x_1^n+c_2x_2^{n}+...+c_kx_k^{n}
    3. 若特征根为重根，即有特征根x1,x2,...,xtx_1,x_2,...,x_t,对应根的重数为m1,m2,...,mtm_1,m_2,...,m_t,且m1+m2+...+mt=km_1+m_2+...+m_t=k,则通解为an=∑j=1m1c1jnj−1x1n+∑j=1m2c2jnj−1x2n+...+∑j=1mtctjnj−1xtna_n=\sum^{m_1}_{j=1}c_{1j}n^{j-1}x_1^n + \sum^{m_2}_{j=1}c_{2j}n^{j-1}x_2^n+...+\sum^{m_t}_{j=1}c_{tj}n^{j-1}x_t^n(简单理解：重复的根需要加多几次，重复多少次就加几次,不是重复的根就直接像单根那样写.)
    4. 若特征根为共轭复根，即共轭复根x1=a+bi和x2=a−bix_1=a+bi和x_2=a-bi且还有另外k-2个单根x3,x4,...,xkx_3,x_4,...,x_k.则通解为an=c1ρncos⁡nθ+c1ρncos⁡nθ+c3x3n+c4x4n+...+ckxkna_n=c_1\rho^n\cos n\theta + c_1\rho^n\cos n\theta + c_3x_3^n + c_4x_4^n + ... + c_kx_k^n,其中ρ=a2+b2,θ=arctan⁡ba\rho=\sqrt{a^2+b^2},\theta=\arctan\frac{b}{a}
    5. 小技巧：凡是单根无论出现在哪都是cixinc_ix_i^n,重根就是∑j=1micijnj−1xin\sum^{m_i}_{j=1}c_{ij}n^{j-1}x_i^n,共轭复根就是ciρncos⁡nθ+ci+1ρncos⁡nθc_i\rho^n\cos n\theta + c_{i+1}\rho^n\cos n\theta书P136

  • 常系数线性非齐次差分方程

    对于一个差分方程:bn+a1bn−1+a2bn−2+...+akbn−k=f(n)b_n+a_1b_{n-1}+a_2b_{n-2}+...+a_kb_{n-k}=f(n).对应的齐次差分方程为bn+a1bn−1+a2bn−2+...+akbn−k=0b_n+a_1b_{n-1}+a_2b_{n-2}+...+a_kb_{n-k}=0.则非齐次的通解为齐次差分方程的通解加非齐次差分方程的特解。特解可以根据f(n)f(n)的形式来设。书P137